cours d'automatisme ( logique combinatoir)

                     SYSTÈMES LOGIQUES COMBINATOIRES

 

Cette leçon ne peut avoir l'ambition de se substituer à un cours de systèmes logiques. Son but est de permettre aux étudiants d'acquérir un bagage minimum en vue de l'étude des convertisseurs analogique/numérique.

On y présente rapidement les codes binaires, Gray et BCD, à titre d'introduction générale. On rappelle les opérations et notations logiques de base, ainsi que les instruments que sont les théorèmes, la table de vérité et la table de Karnaugh. Nous conseillons au lecteur un ouvrage sur les systèmes logiques : 'Analyse et synthèse des systèmes logiques', [18].  

______________________________________________________
PLAN DE LA LEÇON XIII

1. Quelques codes
1.1. Code binaire pur
1.2. Code en complément à deux       
1.3. Code Gray
1.4. Code BCD
2. Opérations logiques booléennes de base
2.1. Opération ET (AND)
2.2. Opération OU (OR)
2.3. Opération NON (NOT)
2.4. Opération NON-ET (NAND)
2.5. Opération NON-OU (NOR)
2.6.Opération OU-EXCLUSIF (XOR)
3. Logique Combinatoire
3.1. Définition
3.2. Table de Vérité
3.3. Table de Karnaugh
3.4. Théorèmes logiques
4. Exercices     /     5. Corrigés
4.1. Exercice: Utilisation de portes logiques
4.2. Exercice: Utilisation de la méthode de Karnaugh

____________________________________________________________________________________________________  
     

  ______________________________________________________
1. QUELQUES CODES
_____________

1.1. Code binaire pur
1.2. Code en complément à deux
1.3. Code Gray
1.4. Code BCD

1.1. Code binaire pur
* Le binaire pur est le codage en base deux :

 

 

* Représentation graphique d'un mot binaire :

 

* Taille usuelle des mots binaires :  

Taille du mot

Valeurs en binaire

8 bits

0 - 255 

16 bits

0 - 65535 (64 K)

32 bits

0 - 4294967295 (4096 M)

 

Note: En informatique, 1 K =1024.

* Notation hexadécimale :

Avec un mot de 4 bits, on peut compter de 0 à 15, ce que l'on peut noter : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. La notation hexadécimale correspond à l'utilisation de la base 16. Par exemple : 50E6 (hex) = 20710 (déc)

* Exemple : comptage sur 4 bits :

Nombre décimal

Nombre binaire pur

Nombre hexadécimal

0

0 0 0 0 

0

1

0 0 0 1

1

2

0 0 1 0

2

3

0 0 1 1

3

4

0 1 0 0

4

5

0 1 0 1

5

6

0 1 1 0

6

7

0 1 1 1

7

8

1 0 0 0

8

9

1 0 0 1

9

10

1 0 1 0

A

11

1 0 1 1

B

12

1 1 0 0

C

13

1 1 0 1

D

14

1 1 1 0

E

15

1 1 1 1

F

 


1.2. Code en complément à deux

Ce code sert à représenter des nombres négatifs. Pour cela on utilise le bit de poids fort pour le signe : '1' pour les nombres négatifs et '0' pour les nombres positifs. Le codage suivant permet d'additionner des nombres quelconques, dans les limites de tailles des mots :

Nombre décimal

Codage en complément à deux

+3

0 1 1

+2

0 1 0

+1

0 0 1

0

0 0 0

-1

1 1 1

-2

1 1 0

-3

1 0 1

-4

1 0 0

 

On a pour le codage :

 

Exemple: Additionnons en complément à deux : -3+2= ?

101

010

----

111 --> -1


1.3. Code Gray

Il existe des systèmes, où l'on a avantage à ce que d'une valeur à l'autre, il n'y ait qu'un seul bit qui varie. Ce n'est pas le cas du binaire, où pour passer de 1 à 2 par exemple, deux bits changent. Si un capteur produit une information codée, les transitions ne sont pas simultanées et on peut lire : 1 (001) ->3 (011) ->2 (010) ou bien:

1 (001) ->0 (000) ->2 (010).

D'où le code Gray :

Nombre décimal Codage Gray

0

000

1

001

2

011

3

010

4

110

5

111

6

101

7

100


1.4. Code BCD.

Le code binaire codé décimal (Binary Coded Decimal) consiste à coder en binaire chaque digit du code décimal. Par exemple, pour coder le nombre 529 :

529 = 5*100 + 2*10 + 9 (décimal) = 0101 1010 1001 (BCD)

Ce code est pratique pour afficher en décimal des nombres. Voir l'exercice plus loin.

  ______________________________________________________
2. OPÉRATIONS LOGIQUES

BOOLÉENNES DE BASE
_____________

2.1. Opération ET(AND)
2.2. Opération OU(OR)
2.3. Opération NON (NOT)
2.4. Opération NON-ET (NAND)
2.5. Opération NON-OU (NOR)
2.6.Opération OU-EXCLUSIF (XOR)

2.1. Opération ET (AND)
Symbole électronique :

 

 

Ecriture: 

Fonction logique :

 

a b c 

---------------

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1 

 

La porte ET détecte le cas où toutes ses entrées sont à l'état haut (1).


2.2. Opération OU (OR)
Symbole électronique :

 

 

Ecriture : 

Fonction logique :

 

a b c 

---------------

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1 

 

La porte OU détecte le cas où toutes ses entrées sont à l'état bas (0).

2.3. Opération NON (NOT)

Symbole électronique :

 

Ecriture: 
Fonction logique :

 

a b

-------

0 1
1 0


2.4. Opération NON-ET (NAND)

Symbole électronique :

 

 

Ecriture: 
Fonction logique :

 

a b c 

---------------

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0 



2.5. Opération NON-OU (NOR)
Symbole électronique :

 

 

Ecriture 

Fonction logique :

 

a b c 

---------------

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0 


2.6.Opération OU EXCLUSIF (XOR)

Symbole électronique :

 

 

Ecriture: 
Fonction logique :

a b c 

---------------

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0 

La porte OU EXCLUSIF détecte le cas où ses entrées sont différentes.

    ______________________________________________________
3. LOGIQUE COMBINATOIRE
_____________
 


3.1. Définition
3.2. Tabled de vérité
3.3. Table de Karnaugh
3.4. Théorèmes logiques

3.1. Définition
Un système logique est dit combinatoire si l'état de sa sortie ne dépend que de l'état de son entrée. Le système combinatoire ne doit donc pas présenter de réactions de la sortie sur l'entrée, de sorte à ce que l'état de la sortie ne dépende pas de l'histoire du système.

A tout instant, on peut représenter logiquement un système combinatoire en faisant une liste des entrées et des sorties : la table de vérité.

Par exemple, la table de vérité du décodage gray-binaire sur 3 bits est donnée par :

Code gray (entrée)

Code binaire (sortie)

000

000

001

001

011

010

010

011

110

111

100

101

101

110

111

100


3.2.Table de Karnaugh

Cette forme de représentation est utilisée pour trouver une expression simplifiée d'une fonction logique. Dans le cas d'un système à quatre variables d'entrée, on crée un tableau à 2 x 4 entrées, puis on regroupe les termes adjacents.

Par exemple, soit la table de vérité suivante :

ABCD

E

0000

1

0001

1

0010

0

0011

0

0100

0

0101

1

0110

0

0111

1

1000

 0

1001

0

1010

0

1011

1

1100

0

1101

1

1110

0

1111

1

La résolution par Karnaugh donne :

 

 

Notez que les lignes 2,3 et les colonnes 2,3 présentent une variable. C'est ainsi que le regroupement du centre s'écrit : .

Le regroupement d'en haut à droite représente une simplification moindre : .

On obtient pour l'expression de la sortie :

 

3.3. Théorèmes logiques

Les théorèmes suivants permettent d'effectuer des calculs dans l'algèbre de Boole :

* Théorèmes de commutativité :



* Théorèmes d'idempotence :



* Théorèmes des constantes :



* Théorèmes de complémentation :



* Théorèmes de distributivité :



* Théorèmes de De Morgan : 





______________________________________________________
4. EXERCICES
_____________
 

(voir aussi les travaux pratiques de laboratoire )

4.1. Exercice 4.1.Utilisation de portes logiques
4.2. Exercice 4,2.Utilisation de la méthode de Karnaugh

 4.1. Exercice 4.1. Utilisation de portes logiques

ÉNONCÉ---Corrigé
Réalisez la fonction OU EXCLUSIF à l'aide de portes NON-ET uniquement.

4.2. Exercice 4.2. Utilisation de la méthode de Karnaugh

ÉNONCÉ---Corrigé
-Remplissez la table de vérité d'un décodeur à 7 segments :

 

- En utilisant Karnaugh, exprimez ce décodeur par une fonction logique.

- Représentez ce décodeur à l'aide des portes logiques standards
 


    ______________________________________________________
5. CORRIGÉS
_____________  

Exercice 4.1

Exercice 4.2.

Exercice 5.1

CORRIGÉ---Énoncé

 

Exercice 5.2. Utilisation de la méthode de Karnaugh

CORRIGÉ---Énoncé

W X Y Z a b c d e f G
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X

 

 

 

wxyz 00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 0 1 1 1
11 X X X X
10 1 1 X X

 

 

wxyz 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 1 0
11 X X X X
10 1 1 X X

 

 

wxyz 00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 1
11 X X X X
10 1 1 X X

 

 

wxyz 00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 0 1 0 1
11 X X X X
10 1 1 X X

 

 

wxyz 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 1
11 X X X X
10 1 0 X X

 

 

wxyz 00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 1 1 0 1
11 X X X X
10 1 1 X X

 

 

wxyz 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 0 1
11 X X X X
10 1 1 X X

 

 

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FIN DE LA LECON

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