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HYDROSTATIQUE

 

HYDROSTATIQUE

I : DEFINITIONS

A : FLUIDE

Un fluide est un corps qui n'a pas de forme propre. Les gaz et les liquides sont des fluides

B : FLUIDE RÉEL. FLUIDE PARFAIT

Si les forces de viscosité sont nulles, on a affaire à un fluide dit parfait. Sinon, on a un fluide réel.

Les forces de viscosité étant nulles au repos, la statique des fluides réels se confond avec celle des fluides parfaits.

C : PRESSION

La pression est une grandeur proportionnelle à l'intensité de la force et inversement proportionnelle à la surface S sur laquelle s'exerce cette force.

F : en newtons (N) ; S : en m2 ; p : en N.m-2 ou en pascals (Pa).

La pression n'est pas une grandeur vectorielle, mais une grandeur scalaire.

Exercice : Un bloc métallique ayant la forme d'un parallélépipède, dont les arêtes mesurent 1 m, 0,8 m et 0,5 m. Le bloc, de masse volumique 7800 kg.m-3, repose sur le sol par une de ses faces.
Calculer la pression exercée sur le sol, dans les trois cas possibles.

Autres unités de pression :
- le centimètre de mercure ; 1 cm de Hg = 1 334 Pa
- l'atmosphère ; 1 atm = 76 cm de Hg = 1,014.105 Pa.
- le bar et le millibar ; 1 bar » 105 Pa ; 1 mbar » 102 Pa

Exercice : Exprimez la pression p = 45.106 Pa en bar, hPa, mbar, atm, cm de Hg.
Exprimez la pression de 1,9 bar en Pa, atm, cm de Hg.

II : PRESSION DANS UN FLUIDE

La direction des forces de pression est perpendiculaire à la surface.

La pression est la même en tous les points d'un plan horizontal du fluide en équilibre. Les surfaces isobares sont donc des plans horizontaux.

Si on prend une portion de surface très petite ds autour du point A, le fluide y exerce une force . Pour les intensités on peut écrire :

III : PRINCIPE FONDAMENTAL

Soit un fluide en équilibre de masse volumique r .

La différence de pression en deux points du fluide en équilibre est égale au poids d'un cylindre de fluide ayant pour base l'unité de surface et pour hauteur la dénivellation entre les deux points.

a) Cas des liquides :

La masse volumique r est indépendante de la pression. Si V est le volume du cylindre :

p' - p = hr g

b) Cas des gaz :

Les gaz étant très compressibles, la masse volumique n'est pas uniforme, elle croît de haut en bas en même temps que la pression. C'est ce qui se passe dans l'atmosphère. Mais dans un récipient de hauteur limitée, la masse volumique des gaz étant faible, la différence de pression entre deux points est très petite : on peut dire que la masse volumique et la pression d'un gaz sont constantes dans tout le gaz.

c) Remarque :

Cette loi fondamentale est valable même si les deux points A et A' ne sont pas sur la même verticale ou s'ils sont dans deux récipients différents reliés entre eux.

Deux points dans le même plan horizontal, dans le même liquide sont à la même pression.

IV : PRESSION EFFECTIVE

Si A est à la surface du liquide, la pression en ce point est égale à la pression atmosphérique p0 . On a :

p' = h.r .g + p0

La pression effective en un point du liquide est la pression due au liquide seulement, en ne tenant pas compte de la pression atmosphérique :

peff = h.r .g

V : EQUILIBRE DE DEUX LIQUIDES NON MISCIBLES

Les deux liquides sont dans des vases communicants. Les deux surfaces libres ne sont pas dans le même plan horizontal.

pM1 - pM2 = pN1 - pN2

D'après le principe fondamental on a :

hrg = h’r‘g

hr = h’r

Si maintenant les pressions sur les deux surfaces libres sont différentes et égales à p0 et p0' . On a :

pM2 = p0      pN2 = p0'

On obtient :

p0 + hrg = p0’h’r ‘g

Exercice : Un tube en U de section uniforme s = 2 cm2 contient du mercure.

a) Dans la branche A, on verse 20 cm3 d'eau. Calculer la différence des niveaux des surfaces libres dans les deux branches A et B.

b) On veut ramener les niveaux du mercure dans les deux branches dans un même plan horizontal en versant de l'alcool dans la branche B. Calculer le volume d'alcool nécessaire pour obtenir ce résultat.

Masses volumiques : mercure : 13,6 g.cm-3 ; Alcool : 0,8 g.cm-3.

VI : THEOREME DE PASCAL

Toute variation de pression en un point d'un liquide entraîne la même variation en tous ses points. Ce théorème est valable pour les gaz.

Le principe de fonctionnement d'une presse hydraulique repose sur ce théorème.

Soient deux cylindres de sections différentes S et S' formant vases communicants. Exerçons sur le piston P une force perpendiculaire à sa surface, cela crée une surpression qui vaut :

 

En vertu du théorème de Pascal, sur P' on a donc la même variation de pression ce qui produit une force . On peut donc écrire : 

On voit donc que si S'> S on a F'> F mais le déplacement de P' est plus petit que celui de P : si on enfonce P de h, P' ne monte que de h'. Le travail se conserve :

Fh = F’h’

Exercice : Deux vases communicants cylindriques A et B ont respectivement 90 cm2 et 10 cm2 de section. Ils contiennent de l'eau et sont fermés par deux pistons en contact avec l'eau. On exerce sur le plus petit piston une force de 200 N.

Calculer la force qu'il faut exercer sur l'autre piston pour qu'on ait équilibre.

VII : PRESSION EN UN POINT D'UNE PAROI D'UN RÉCIPIENT OUVERT

a) Sur le fond :

La pression intérieure en M pint est égale à :

pint = p0 + hrg

Mais il y a la pression extérieure p0 qui s'exerce sur le fond. La pression effective sur le fond est donc égale à :

peff = pint - pext

peff = hrg

On voit que cette pression est indépendante du volume du liquide donc de la forme du récipient. Elle ne dépend que de la hauteur du liquide et de sa nature.

b) Sur la paroi latérale :

Pour le point N, le même raisonnement nous conduit à la relation :

peff = h’r g

et cela quelle que soit l'inclinaison de la paroi.

Exercice : Soient deux récipients A et B, remplis d'alcool (r = 0,8 g.cm-3).

- pression atmosphérique : 105 Pa
- diamètre des fonds : 200 mm.
- h1 = 0,5 m.
- h2 = 0,3 m

a) Trouvez les pressions qui s'exercent en des points intérieurs au liquide, dans les deux récipients, aux niveaux z1, z2, z3.

b) Trouvez les pressions qui s'exercent sur les parois en des points se trouvant aux mêmes niveaux que précédemment, dans les deux récipients.

c) Tracer les forces pressantes sur les parois des deux récipients. Calculez celle sur le fond des deux récipients.

VIII : PRESSION EN UN POINT D'UNE PAROI D'UN RÉCIPIENT FERME

Le récipient peut donc contenir un gaz. Soit pG la pression intérieure due au gaz, p0 la pression extérieure.

Si le récipient ne contient que du gaz, la pression effective en un point A de la paroi sera :

peff = pG - p0

Si le récipient contient un liquide surmonté par un gaz, il faudra analyser deux cas.

- Si le point A est au-dessus du liquide, la pression effective sera égale à :

peff = pG - p0

- Si le point A est en dessous de la surface du liquide, à une profondeur h, on aura alors :

peff = pG + hrg - p0

Exercice :
Trouver la pression du gaz p. Application numérique : r du liquide: 13,6 g.cm-3 ; hauteur h : 20,0 cm

 

IX : RÉSULTANTE DES FORCES DE PRESSION SUR UNE PAROI PLANE

Soit une paroi plane. Nous voulons déterminer la résultante de toutes les forces de pression s'exerçant en tous les points de cette paroi.

La force qui s'exerce sur le petit élément de paroi de surface dS, de longueur l et de hauteur dz, se trouvant à la profondeur z est :

df = peff.dS = zr gdS

Si la paroi est le fond horizontal du récipient, la pression est uniforme et la résultante f de toutes les forces sera égale à :

S étant la surface du fond et H la hauteur de liquide.

Le point d'application de cette force sera le centre de gravité de la surface S.

Si maintenant la paroi est une paroi latérale, on aura encore pour un petit élément de surface dS :

df = zr gdS

Mais ici les df dépendent de la profondeur z qui varie suivant le point considéré. La résultante f sera :

Si la paroi est rectangulaire, de longueur l, sur une bande de hauteur dz se trouvant à la profondeur z, la pression est constante et la surface de cette bande est :

dS = l.dz

d'où :

r .g.H/2 est la pression effective pG au point G, centre de gravité de la surface. Le produit l.H est la surface de la paroi. On peut donc écrire :

f = pG.S

La résultante des forces qui s'exercent sur une paroi est égale au produit de la pression effective au centre de gravité de cette paroi par la surface de cette paroi.

Le point d'application de cette résultante s'appelle le centre de poussée C, ce n'est pas le centre de gravité G.

Pour déterminer sa position il faut chercher le moment de la force qui s'exerce sur un élément de surface dS par rapport à un axe horizontal passant par la surface libre de liquide. Ce moment dMt est égal à :

dMt = df.z = zr gds.z

Pour trouver le moment total, on somme sur toute la hauteur :

Ce moment est égal au moment de la résultante qui s'applique en un point distant de d de la surface :

En égalant les deux expressions du moment, on obtient :

Les deux résultats donnant l'intensité de F et son point d'application sont valables même si la paroi est inclinée, H et d étant la hauteur d'eau et la profondeur où se trouve le centre de poussée.

Exercice : Un barrage a 50 m de haut et 120 m de large. Quelle est la force de poussée de l'eau, et calculer la cote de son centre de poussée.

X : TUBE BAROMÉTRIQUE

Appliquons la loi fondamentale de la statique des fluides aux points M et N :

Pour M, on a :

pM = p0

Pour N :

pN = rgh + 0

car au-dessus de la colonne de liquide il y a le vide.

La pression atmosphérique p0 est donc égale à :

p0 = r gh

Si on prend comme liquide le mercure de masse volumique r = 13600 kg.m-3 , on voit que la pression atmosphérique normale correspond à une colonne de hauteur h = 760 mm. La valeur de cette pression vaut  :

p0 = 13 600.9,81.0,76 = 1,014.105 Pa

Exercice : Par quelle hauteur d'eau exprimerait-on la pression atmosphérique normale ?
A quelle pression correspond 1 cm d'eau ?

XI : THÉORÈME D'ARCHIMÈDE

Tout corps immergé dans un liquide au repos reçoit de ce liquide une poussée opposée au poids de liquide déplacé. Le point d'application de cette poussée est confondu avec le centre de gravité du liquide déplacé. Ce point s'appelle le centre de poussée.

Si le corps est homogène son centre de gravité est confondu avec le centre de poussée. S'il n'est pas homogène, ce n'est pas le cas, le corps se positionnant de telle façon que le centre de poussée soit sur la même verticale que son centre de gravité et au-dessus pour que l'on ait un équilibre stable.

Exercice : La couronne de Hiéron, tyran de Syracuse, pesait 7465g. Immergée dans l'eau, elle semblait ne peser que 6998 g.
Montrer que cette couronne n'est pas en or pur.
Calculer la composition de la couronne sachant qu'elle contient de l'argent et de l'or.

Données : masse volumique de l'or : 19,3 g.cm-3 ; de l'argent : 10,5 g.cm-3.

xii : corps flottants

Si la poussée d'Archimède sur un corps totalement immergé est plus grande que son poids, ce corps va remonter à la surface.

Quand il flotte la poussée d'Archimède est alors égale à son poids.

G est le centre de gravité, c’est-à-dire le point où s’applique le poids.

C est le centre de poussée, c’est-à-dire le point où s’applique la poussée d’Archimède, c’est aussi le centre de gravité du volume d’eau déplacé.

Pour que l'équilibre soit stable, il faut que le centre de gravité du corps flottant soit au-dessous du centre de poussée : on leste le fond du corps.

Exercices :  
Un bloc de glace dont le volume est 500 cm3 flotte à la surface de l'eau.
Calculer le volume immergé sachant que la masse volumique de la glace est de 0,92 g.cm-3.

 

exercices

On prendra pour tous les exercices : Pression atmosphérique P0 = 105 Pa

I : Une surface rectangulaire de 2 m de largeur et de 3 m de longueur est soumise à une pression uniforme de 50 Pa. Quelle est la force qui agit sur cette surface ?

II : Un tube cylindrique vertical de 1 cm2 de section contient 2 l d'eau. On place sur cette eau un piston pesant 200 g.
Calculer la pression en un point situé à 10 cm du fond.
Calculer la pression effective sur le fond du tube ainsi que la force pressante.
On met sur le piston une masse de 100 g. Trouver les nouvelles pressions, ainsi que la force pressante sur le fond.

III : Un tube en U de section uniforme contient du mercure. Dans la branche A, on verse de l'eau; dans la branche B, on verse de l'alcool. On constate que les surfaces libres de l'eau et de l'alcool sont dans un même plan horizontal et que le mercure présente une différence de niveau de 0,5 cm entre les deux branches.
Calculer les hauteurs h et h' d'eau et d'alcool.
On donne :       masse volumique du mercure 13,6 g.cm-3
                       
masse volumique de l'alcool 0,8 g.cm-3

 

IV : On plaque à une extrémité d'un tube cylindrique une plaque d'acier de section 10 cm2 et pesant 30 g. On plonge le tout dans de l'eau.

a) A quelle profondeur minimale faut-il placer l'extrémité inférieure pour que la plaque reste collée à l'embouchure du tube ?

b) Quelle hauteur d'eau faut-il alors verser dans le tube pour qu'elle se décolle ?

V : Le liquide 1 est moins dense que le liquide 2 : r1 = 998 kg.m-3  et r2 = 1 022 kg.m-3.

a) La pression p au-dessus des liquides est la même. Établir une relation entre h1 et h2.

b) On augmente la pression au-dessus du liquide 1 de p = 10 Pa. Sachant que la surface des grands récipients est S = 100 cm2 et celle du tube en U les reliant s = 1cm2, exprimez les nouvelles hauteurs des liquides h' et h' en fonction de h1, h2, du déplacement des surfaces libres et de celui de la surface de séparation des deux liquides. Calculez ce dernier.

c) Si on peut apprécier un déplacement de la surface de séparation de 1 mm, quelle est la sensibilité de ce manomètre ?

 VI : Soit une presse hydraulique. Sur quel théorème repose son principe ? Énoncez ce théorème. Faites le schéma d'un tel appareillage. Quelle est son utilité ? De quel coté exerce-t-on la force ?
Sachant que le rapport des forces est de 1 pour 100, si le grand piston se déplace de 1 cm, de combien se déplace le petit piston ?

VII : Soit une vanne de retenue d'eau :

1) Trouver les pressions sur la paroi aux trois points 1, 2, 3.
a) du coté amont.
b) du coté aval.

2) Trouver les pressions effectives.
z1 = 1,5 m ; z2 = 5 m.

3) Si la vanne à une longueur de 1,5 m, déterminer la poussée sur la vanne et la cote du centre de poussée. (diviser le problème en deux parties : partie < 1,5 m et partie > 1,5 m).

VIII :

L'ensemble est rempli d'eau jusqu'au point L. La masse volumique de l'eau est 1000 kg.m-3.

Déterminer la résultante des forces de pression sur chacune des six faces du réservoir (le panneau BCHI est supposé horizontal).

 

IX : Le schéma d'un système permettant de récupérer et traiter l'eau de lavage des véhicules de chantier est le suivant :

L'eau est récupérée par un avaloir de sol puis passe par un débourbeur qui permet de retenir la boue par décantation. Le mélange eau + hydrocarbures se dirige ensuite vers un séparateur où les hydrocarbures moins denses que l'eau sont isolés et peuvent être récupérés. La capacité totale du débourbeur est 160 L et sa surface de base est un carré de 0,32 m2 de surface.

1) Le débourbeur est plein . il contient 110 L d'eau, 1,5 L d'hydrocarbures et de la boue.
Calculer la pression exercée par l' ensemble sur le fond du débourbeur.

2) Calculer la densité du mélange eau + hydrocarbures, ce mélange étant supposé homogénéisé.

3) Sachant que hC = 0,36m, calculer hB.

4) Un flotteur sphérique, de masse m = 50,00 g, permet de connaître le niveau atteint par les hydrocarbures et le moment où il faut les pomper. Sachant qu'il flotte sur la couche d'hydrocarbures en étant à moitié immergé, calculer son rayon.

Données pour tout l'exercice :
densité des hydrocarbures : dh = 0,85              densité moyenne de la boue : db=1,8
volume d'une sphère : V = (4/3)
pR3                 accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2
masse volumique de l'eau :
reau = 1000 kg.m-3.

Bat 99

X : Une citerne à fioul de capacité volumique C est constituée d'un tronçon central cylindrique encadré de deux extrémités hémisphériques (figure ci-contre)

Une pompe aspire le combustible jusqu'à la chaudière.

Données :
dimensions extérieures de la citerne : L = 2,05 m      R = 0,63 m
      capacité : C = 2000 litres

masse de la citerne (vide) : M = 150 kg           masse volumique de l'eau : re = 1000 kg.m-3
masse volumique du fioul :
rf =840kg.m-3         accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2 .
volume d'une sphère de rayon a : (4/3)
pa3       volume d'un cylindre de rayon a et de hauteur b : pa2b

Ancrage de la cuve

La notice du constructeur porte la mention :
Pose en cas de nappe phréatique :
           
Prévoir quatre points d'ancrage
           
Commander un jeu de sangles

1) Indiquer brièvement pourquoi l'on doit prendre ces précautions.

2) On suppose que la cuve est entièrement immergée dans l'eau. (figure ci-dessus) Exprimer puis calculer :
a)      le volume extérieur de la citerne Ve ,
b)      l'intensité A de la poussée d'Archimède qu'exerce l'eau sur la cuve
c)      l'intensité F de l'effort supporté par chaque point d'ancrage lorsque la cuve est à moitié remplie de fioul.

Bat 2001

 

XI : Immersion d'un caisson de tunnel sous-fluvial

La liaison routière entre deux rives d'un fleuve nécessite la construction d'un tunnel sous fluvial constitué par des caissons en béton construits sur terre, transportés et immergés dans le fleuve. Chaque caisson a une section rectangulaire d'épaisseur constante e = 0,50 m
Hauteur extérieure : h = 7,50 m
Largeur extérieure : b = 10 m

Longueur : 1 = 32 m
On donne :
Masse volumique du béton :
rb = 2500 kg.m-3
Masse volumique de l'eau ;
re = 1000 kg.m-3
accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2 .

1) Calculer la masse d'un caisson.

2) 0n obture les deux extrémités d'un caisson par des cloisons provisoires de masse m = 90 tonnes chacune.
Justifier que 1e caisson peut flotter. Calculer alors la hauteur qui émerge.

3) Après mise en place définitive du tunnel, la face supérieure d'un caisson se trouve recouverte par une hauteur minimale de H = 10 m d'eau.
Calculer les forces de pressions exercées sur le caisson :
-         sur sa face supérieure horizontale.
-         sur sa face inférieure horizontale
-         sur un côté vertical.

TP 1989

 XII : Dans la cuve d'un carburateur, le niveau de carburant est maintenu constant grâce à l'action d'un pointeau solidaire d'un flotteur cylindrique.
Calculer la hauteur de la partie immergée du flotteur, sachant que sa masse est de 15 g, son diamètre est 5 cm, la masse volumique de l'essence est 710 kg.m-3.

Correction des exercices.

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source du cours http://perso.orange.fr/mathieu2